2017年07月20日

「スウガクって何の役に立ちますか?ヘタな字も方向オンチもなおる! 数学は最強の問題解決ツール」(杉原 厚吉)

「スウガクって何の役に立ちますか?ヘタな字も方向オンチもなおる! 数学は最強の問題解決ツール」(杉原 厚吉)

表題が、数学が好きでない子供から八つ当たり気味に来そうな質問ですね(笑)

私はそんなに深く考えたことはないけど、
強いて言えば数学を学ぶのは、論理的思考を身に付けるためなのかな、と思っていました。

しかしもっと実用的なものだよ、
ということを示したのがこの本。

小中学生向けの雑誌に掲載されているコラムを
大人向けに書き換えた本、だそうです。
なので理論のさわりというか、数式もなくざっくり書いてくれているので
分かりやすいと思います。
項目を見ているだけでもへえ~こんなことも分かるのか、となかなか興味深い。。


覚えている限りを私の理解で挙げてみます。
〇ジャンケンに勝つ方法
 これは「ゲーム理論」を使うのだそうですが、
 相手とのじゃんけんの対戦成績から、パターンを読み取るのだそうだ。
 しかしそのデータの分析法も多様で、一例をあげると
 ・相手がどの手を一番出すかを調べる(一番単純)
 ・相手がどの手の次に、どの手を出したか調べる
  数学的には、条件付き確率、というらしい
 ・相手がどの手の次に、どの手を出して、勝敗はどうだったかを調べる

 …こういう分析を繰り返して、「この前チョキだったから次はパーを出すだろう」
 などと予測するらしい

 世の中には、アニメの「サザエさん」の最後のじゃんけんを研究する
 「サザエさんじゃんけん研究所」なるものがあるらしく、
 データ分析の結果
 「三回連続して同じ手を出すことは少ない」とか
 「新しいクールの初回はチョキが多い」などという法則を導きだしているそうです。
 この研究会のサザエさんとの対戦勝率は、8割近いんだそうです。

〇多数決を納得させる方法
 多数決で、3つの選択肢ABCから多数決で一つを選んだ時、
 一番希望者が多いものを選んだとしても、文句が出る場合がある、という話。

 これは、各人にABCのの中で順位をつけさせると
 例えばAを1番、とする人の人数が一番多いとしても、
 Aを3番、とする人の人数も一番多い場合もある
 (つまりAは好みがめっちゃ分かれる、好きな人は好き、嫌いな人は嫌い、ってことですね)
 
 こういう場合は多数決をしても、
 Aを1番とする人以外は絶対いや、となりがちで
 不満が残ることが多い

 どうすればいいかというと、
 最初に話し合いをして、それでも決まらなかったら多数決をするが
 「結果に文句を言わない」という条件を付ける、というのがいいそうです。

 (ちなみに集団での意思決定で
 3つ以上の選択肢から選ぶとき、みんなを満足させられる方法はない
 としたのがケネスアローの「不可能性定理」でした
 これでノーベル経済学賞をもらっているそうです)
 
〇社員35人を六種類の掃除場所に希望通り割り当てる方法
 これは組み合わせ問題でした。

 35人の社員が掃除をすることになり、
 例えばトイレ担当2人、玄関担当2人、オフィス担当6人…などと割り振ることにする
 誰がどこを掃除するか決めるとき、
 それぞれの人に第1希望、第2希望を書いてもらい
 みんながなるべく希望場所に当たるようにするにはどうすればいいか、という問題。

 やり方としては社員に番号を割り当て、1、2、…と縦に並べて書き
 その横に掃除場所A、B…と縦に並べて書く

 その次に人と希望場所を点線で結び
 (一人につき希望場所が2つなので、点線が2本伸びることになる)
 希望場所に集まった線が定員より少なければ確定させ
 (確定したら実線に変える)
 定員オーバーだったら点線と実線を入れ替えしながら調整していく

 …図で示す方が早いかもしれませんが、
 やり方が見事でへぇーと思いました。
 前オイコノミアで好きな果物を分配するとかいうのをやっていたけど
 (坂井先生の回で、あれは図ではなく、表で示していたが)
 それと同じようなものかな?

〇余計な情報がミスを防ぐ
 報告の時は「明瞭簡潔」が好まれやすいが
 実は余分な情報が記憶には役立つ、という話です。

 例えば待ち合わせの時でも、ただの「駅の改札」というよりも
 「近くに本屋がある駅の改札」更には「○○堂という本屋の近くの改札」とする方が間違いが少ない

 本のISBNコード、銀行口座の番号の下一桁などは
 間違いを防ぐための「余分な情報」なんだそうです。

〇パーティーの円卓に人を配置する方法
 みんな仲が良い集団ならもめないのですが
 会社の中などでは「〇〇部長と△部長は隣にしちゃダメ」
 とか、ややこしい相性がある。
 そういうときにどうすれば早く配置を決められるか、という話。

 これは「グラフの理論」を使うのだそうですが
 この場合のやり方は、
 例えばABCDEF6人を配置するときは
 AとB、AとCなどそれぞれのペア同士の仲を
 「めっちゃ仲がいい」から「犬猿の仲」まで5段階まで分ける。

 そのあと、ABCDEFを円状に並べて、
 仲が悪い人ペアは細い線、仲がいい人は太い線で、5段階の太さの線で結ぶ
 そのあと、太い線をたどり、全員が一筆書きで一巡するようなルートを探す
 
 …図がないから説明が難しいが、
  こんな感じでやると太い線の相手を隣にして、うまく円卓に並べられるそうです。
  結婚式のテーブルの配置とかには使えそうですね。

〇花見の陣取り方法
 花見の陣取り、って私はしたことがないですが、
 早めに行って場所を取るとき、
 とった時は広い場所、と思ってとっても、
 あとから人が来て場所が埋まり、
 結局狭い思いをしなきゃいけない、という場合があるそうです。

 これはなぜかというと、人は隙間の大きいところに座りたがるからだそう
 ほかの空き場所に比べたらここが広い、と思うと座ってしまう
 (電車の座席でも、人が座っている隣よりも、空いているところに座るのと一緒)

 そこで、これを数学的にシミュレーションすると
 長方形の花見場所のスペースのどこかに、1番目に来た人の場所を小さい円で示す
 すると次に座る人は
 「すでに人がいる場所以外のスペースの中で、一番大きい円を描き
  その円の中心に場所を取る」
 という仮定ができる
 (つまり、1番目の人から最も遠くて広くとれる場所、ということになる)

 これを3番目、4番目の人も同じ…として円を描いていくと、
 花見の陣取り場所にだいたい近い分布になるんだそうです。

 なので、ここから、早めに陣取りする場合はどういう戦略を取ればいいかというと、
 最終的にどのくらい混みそうか、を予測して、
 すでにいる人の所からは距離を空けるが、
 その間にほかの人が入りたい、と思わせないくらいには近いところに場所を取る
 (なかなか難しいですが)
 というのがいいのだそうです。

〇美しく見せる字の書き方
 これも数学?と思ったのですが、
 空間バランスの感覚みたいです。

 筆者の挙げた法則は4つほど。
 ・マス目のスペースに合わせた大きさで書く
 ・一つ一つの線を丁寧に書く。はね、とめを丁寧に。
 ・文字全体の重心がマス目の重心に合うようにする
 ・線の隙間は同じくらいにする
 これだけでだいぶそろって読みやすくなるそうです。

 またこのほか、錯視の問題があり
 ・文字の並びによっては斜めに見えることがある
 ・文字の形によっては大きく見えるものがある
  (国、口など囲いがあるものは大きく見えやすい)
 ため、この辺を微調整するとさらに良くなるそうです。

 たぶん字がうまい人は、これを感覚的にやっているんでしょうね。
 
〇寄付をどれくらいすればいいか
 これは「限界効用逓減の法則」という、経済学的な考え方のようです。

 限界効用とは、
 1単位あるモノが増えたときに得られる満足度、で

 限界効用逓減の法則とは、
 一般的にたくさん持っている人ほど、満足度が上がる度合いが減っていく、
 ということを示す
 (お腹ペコペコのときに料理を食べたらあがる満足度が高いが
  お腹いっぱいでもう一皿食べても上がる満足度が低い、というたとえをしていました)
 
 寄付をするときはこの逆を考えればよくて、
 お金が減った時に減る満足度を考える
 
 なので、収入400万の人がいっぺんに200万を寄付すると痛みが強いが
 100万ずつ2回寄付すれば、同じ額でも痛みが弱くなるのだそうです。

〇揺れの少ない電車の座席は
 これは、電車を棒に見立て、棒のタイヤ部分を2点ほど取る
 この点つきの棒を線路で走らせる、というシミュレーションをするとわかるそうです。

 カーブを通過するときを比べると
 タイヤ部分の点は線路に沿って動く
 電車上の中央部分は、タイヤ部分の2点を平均した軌跡で動くので、タイヤ部分より揺れが少ない
 電車上の両端部分は、タイヤ部分より激しくカーブを動く
 
 つまりこの結果から、電車で揺れたくないときは中央部分に乗るといいそうです。
 (新幹線の自由席が端っこ、グリーン席が真ん中にあるのもそのせいですかね)

〇希望通りの温度のお湯を作る方法
 これは何かの料理番組でもやっていましたが
 100℃のお湯と0℃の氷水を用意し
 x℃欲しければ、100℃のお湯を(100-x)gと0℃の水をx℃加える
 というやり方をする

○冷蔵庫でジュースが冷えるまでどれくらいかかるかを推測する
 最初にジュースの温度が21℃、冷蔵庫の中が5度として
 一時間後に13℃になったとき
8℃下がるのに一時間かかるのだから、
 もう一時間すれば5℃になるはず、
 と思いたくなるが
 そうはいかないらしい。

 これはどう考えるかというと
 冷えるスピードは温度差に比例するのだそうです。

 つまり最初の一時間は温度差が16℃なので
 低くなる速さは16℃に比例する
 しかし次の一時間は温度差が8℃なので
 冷える速さは8℃に比例するのだそうです。

 数学的には微分方程式で解けそうですが、
 グラフを書いて曲線を書き予想する力業も使える、とのこと

〇映画館はなぜ迫力があるか
 映画館はテレビと比べてなぜ迫力があるか、という話です。

 迫力は、画面の幅が、画面と見る人との距離に比べて大きいほど大きくなるらしい。

 なので理論的には、テレビでも画面に近づいて見れば迫力があることになるが、
 そうでもないそうです。

 これは、両眼立体視、という脳の働きがあって、
 左右の目の見え方の差を調整して、頭の中で像を作り直す作業が行われるので
 そこで左右から見た図の奥行きなどが補正されてしまうのだそうです。
 このため、脳の中ではのっぺりした像になってしまう

 しかし、この両眼立体視は
 画面からの距離が7メートル以上、
 つまり画面から遠くはなれると働かなくなる

 映画のスクリーンは
 幅が広いのと、
 離れたところから見るので補正もされず
 迫力があるのだそう。

 理論的には、テレビ画面でも
 近くで、片目で見れば同じ効果になるはずだが
 目が疲れて悪くなりそう…

〇スキーでコブをうまく滑るには
 スキーはあんまりしたことないですが…
 しかもコブって滑ろうとも思わないが…(笑)

 コブになると何で倒れるか、というと
 上下方向の重心が乱れるから、なのだそうです。
 
 スキーは普通前後方向の重心のバランスを調整しつつ滑るが
 コブになると前後方向のバランスを崩されるから、大変なんだそうです。
 そこで、膝を使いこのバランスを取るといいそうです。
 具体的には、コブの山では膝を曲げ、谷では膝を伸ばす
 体の重心のラインがなるべく上下しないようにイメージするといいらしい。

〇海岸線の長さは測れない
 海岸線の長さ、というのはどの地図を見てもないらしい。
 これは、海岸線は近づくほど入り組んでしまい、距離が長くなってしまうからだそうです
 このような図形を「フラクタル図形」といい
 自然界にはたくさんあるのだそうです

〇複雑な池の面積を求める方法
 これは、池を碁盤のようなマス目で区切り、モザイク画みたいな感じにして、
 近似的に計算する
 池と大きさが一番近いけど池よりちょっと大きいモザイク画、と、
 池と大きさが一番近いけど池よりちょっと小さいモザイク画
 の間が池の面積になる

 マス目を細かくしていくと、この範囲が狭くなり、より正確に求められる

〇宝くじのカラクリ
 これは初めて知ったのですが
 宝くじはもともと
 「お金持ちの人からお金を集めて、地域振興に使うためのもの」
 つまり寄付の一種なんだそうです。
 決して買う人が儲けるためのものではないらしい。

 というのは、
 宝くじの売上金のうち、当選した人に支払う割合(これを払い戻し率というそうです)
 は50%を超えてはいけない、と法律で決まっていて、
 残りの売上金は地域振興に使われることになっている。
 (たしかに公園の遊具とか、宝くじって書いてある)
 
 1等などになると1人に対し支払う額はとてつもない額ですので
 つまりはほとんどの人にとって、宝くじはお金が返ってこないことになる。

 数学的に考えると、払い戻し率は50%以下なので、
 300円の宝くじの期待値は150円以下、ということです。
 ですので、余裕がある人は買えばいいけど
 寄付と思って買うこと、儲けようとは思わないこと、だそうです。

〇見知らぬ土地で方向音痴にならない方法
 私も昔は方向音痴でしたが
 昔知り合いの運転のナビ(昔はカーナビはなかったですね)をしているうち
 なんとなくコツをつかんで、地図が読めるくらいになりました。
 そのとき気づいたのは
 「目印を見つけること、今どっちの方角に向かってるかを常にモニターすること」
 だったのですが、まさにその通りのことが書いてありました。

 筆者によれば我々の勘違いは
 ・常に道は垂直に交わっている
 ・常に道はまっすぐである
 ということだそうで、
 このため道が知らぬ間に緩やかなカーブを描いたり、斜めに走ったりして
 東から北へ捻じ曲げられていたりすると、行く方向を勘違いしてしまう
 あるいは、変形交差点で、垂直でない曲がり方をしていると
 右折や左折したときに、向かう方向を誤ることがある

 筆者のアドバイスは、
 方角を知るための目印を探すこと、
 知らない土地の場合は、太陽を探すとか
 あるいは家のパラボナアンテナ(衛星は赤道の上を通るので、日本なら南方向らしい)
 がいい、とのこと
 
〇読みやすい文を書く方法
 これも数学?と思ったのですが
 時間とか距離を考えるとわかりやすいのだそうです。

 筆者によれば、読みやすい文章とは
 「書き手が何をいいたいのか分からないまま読まされる時間が、なるべく短い」
 という文章で、これを実現するには
 ・今まで出てきた情報(読み手が知っている、読み手に近い情報)から
  新しい情報(読み手に取って遠い情報)の順に並べる
 ・書き手に近いものから遠いものへと並べる
 といいそうです

 主語と述語が離れすぎていても読みにくいし
 突然新しい話が出てきてなんだ?と思うのも読みにくい、ということですかね…
 
○人混みからスムーズに脱出する方法
 これは、渋滞から抜け出す方法もそうですが、
 結論から言うと出口に殺到せず、きちんと並んで同じ速さで出るのが一番速いそうです。

 数学的にはセルオートマトンという方法を使う

 これは、空間をセルというマスの目に区切り、
 人を●で示す
 ・セル1つには●が1つだけ入り、
 ・一回につきセルは一個だけ前に移動できる
 ・前のセルに●がいたら動かずに待つ
 というルールで動くとする

 例えば4人が並んで左から右に歩き、
 みんなが右端にたどり着くまでの時間を考えたとき、

 歩く空間を横一直線の10個のセルとする
 ●を均等に間を空けて配置させたとき(車間距離を空けて走るのと同じ)と、
 右の方に固めて●を配置させた時(渋滞している時と同じ)を比べると
 均等に間を空けた方が早いのだそうです。

 これは、固めて●があると待ち時間が多くなるからなんだそうです。

 本では図付きで実演しているので分かりやすかったです。

○プールの水を抜くのにかかる時間を調べる方法
 例えば100センチの深さのプールがあって、
 10センチ下がるのに5分かかるとしたら、
 全部抜くのに何分かかるか。

 ちょっと考えると5分 の10倍?と思いたくなるが、
 これは違うらしい。

 というのは、水の減る速さは水圧に比例する
 水圧はプールに残っている水の体積(深さ)に比例するので
 後になるほど水圧が小さくなり、時間がかかるのだそうです。

 これは微分方程式で解けそうですが
 細かく計測してプロットしてグラフを書いて予想時間を出す、という力業もあるのだそう。

○雪のかまくらはなぜ丈夫
 かまくらはなぜ四角ではなくドーム型か、という話です。

 これを考えるために、3つの煉瓦を
 ・横長に3つ水平に並べた構造、
 ・両端2つを斜めにして台形状に並べた構造
 を考える

 ここで重力が働くとき、
 真ん中の煉瓦を持たずに、
 両端2つで真ん中の煉瓦を支えるやり方を考える

 水平に並べた方は、左右から真ん中方向へ挟み込むような力をかけ、
 煉瓦同士の摩擦力で重力に逆らう力を作らねばならない

 一方台形型の方は、
 左右から斜め上方向
 (両端の煉瓦と水平になる方向)の力で挟み込むようにすれば、
 両方の煉瓦にかける力の合力が上方向になるので
 重力に逆らうことができるのたそうです。

 煉瓦の幅を細かくしてたくさんつなげれば、アーチ、かまくらの構造になる
 橋のアーチ構造なども全てこの原理なんだそうだ。

ほかにも、
野球のベース間を速く走る方法、
ブランコを速くこぐ方法などもありました。

こんなんも数学的に解析できるんだ~、と思える情報満載でした。

きれいな文字も空間バランスの問題、
分かりやすい文章も単語同士の距離の問題、
というのはなるほどと思いました。

私は数学は好きですが、確率統計は苦手。
なんだろ、数学っぽくないというか、こじつけくさいというか…
ある事象が起きる確率、
と言っても、
ありうる例を考え出すと色んな可能性が出てきて、
どれを棄ててどれを拾うべきかが混乱してしまう。

あと物理の力学も苦手。
働く力と方向を間違えてしまうんですよね。
何回やってもマスターできず…

なのでこれらを自分で最初から考えろと言われても
できるかどうかは自信がない。

まぁでもあっていてもいなくても
「この現象には、どういうパターンが隠れているんだろう?」
とか
「何かに類似、近似できないか」
とか、
「点とか線に単純化して考えられないか」
という発想を持つことが
「数学的に考える」
ということなのかなと思いました。

混雑からの脱出法、
方向音痴からの脱出法などを見ると、
普段の生活の中でも
パニックになりそうなときでも数学的に考えると
危険を回避できるのかなと思います。

数学好きでも新しい発見があるし、
数学嫌いでも、こんなことにも使えるのか~と感心できる本だと思いました。
イラストのネコのユルさもいい味出してますね~
読みやすいので興味あるかたはぜひ。

というわけで今回はこの辺で。
posted by Amago at 07:55| Comment(0) | 本(科学) | 更新情報をチェックする